({{Číslo projektu, CZ.1.07/1.1.36/02.0066}, {Autor, Jaroslava Švecová}, {Předmět, Základy elektrotechniky}, {Téma, Řešení el. obvodů metodou smyčkových proudů}, {Metodický pokyn, výkladový text s ukázkami}})

Řešení elektrického obvodu se třemi smyčkami

Je zadaný elektrický obvod se třemi smyčkami. 

	Nejprve musíme sestavit rovnice podle 2.KZ (2. Kirchhoffova zákona) pro každou smyčku. 
Dostaneme tak soustavu 3 rovnic pro neznámé proudy (Subscript[I, A]), (Subscript[I, B]), (Subscript[I, C]) (tzv. smyčkové proudy).
Pomocí smyčkových proudů můžeme určit proudy v jednotlivých větvích obvodu (tj. v jednotlivých odporech). 

	Pro vyřešení obvodu musíme zadat hodnoty jednotlivých odporů ( v Ohmech), napětí zdrojů (ve Voltech). 
Vypočtené proudy pak vycházejí v Ampérech. 
Úlohu můžeme ověřit pro různé hodnoty odporů a napětí.

Soustava 3 rovnic pro smyčky ((Subscript[I, A]), (Subscript[I, B]), (Subscript[I, C])):

({{({{((Subscript[R, 1])+(Subscript[R, 4])+(Subscript[R, 6]))(Subscript[I, A])-(Subscript[R, 6])(Subscript[I, B])-(Subscript[R, 4])(Subscript[I, C])=(Subscript[U, 1])}})}})

({{({{-(Subscript[R, 6])(Subscript[I, A])+((Subscript[R, 2])+(Subscript[R, 5])+(Subscript[R, 6]))(Subscript[I, B])-(Subscript[R, 5])(Subscript[I, C])=-(Subscript[U, 2])}})}})

({{({{-(Subscript[R, 4])(Subscript[I, A])-(Subscript[R, 5])(Subscript[I, B])+((Subscript[R, 3])+(Subscript[R, 4])+(Subscript[R, 5]))(Subscript[I, C])=-(Subscript[U, 3])}})}})

Zadáme hodnoty odporů v Ohmech a napětí ve Voltech. 
Dále následuje příkaz na vyřešení smyčkových proudů.

(Subscript[R, 1])=1;
(Subscript[R, 2])=5;
(Subscript[R, 3])=2;
(Subscript[R, 4])=4;
(Subscript[R, 5])=10;
(Subscript[R, 6])=5;
(Subscript[U, 1])=130;
(Subscript[U, 2])=40;
(Subscript[U, 3])=100;

NSolve[{((Subscript[R, 1])+(Subscript[R, 4])+(Subscript[R, 6]))IA-(Subscript[R, 6])IB-(Subscript[R, 4])IC==(Subscript[U, 1]),-(Subscript[R, 6])IA+((Subscript[R, 2])+(Subscript[R, 5])+(Subscript[R, 6]))IB-(Subscript[R, 5])IC==-(Subscript[U, 2]),-(Subscript[R, 4])IA-(Subscript[R, 5])IB+((Subscript[R, 3])+(Subscript[R, 4])+(Subscript[R, 5]))IC==-(Subscript[U, 3])},{IA,IB,IC}]

Řešením soustavy rovnic jsou smyčkové proudy (Subscript[I, A]), (Subscript[I, B]) a (Subscript[I, C]) v Ampérech.

Nyní doplníme soustavu rovnic o rovnice pro výpočet jednotlivých proudů.

(Subscript[R, 1])=1;
(Subscript[R, 2])=5;
(Subscript[R, 3])=2;
(Subscript[R, 4])=4;
(Subscript[R, 5])=10;
(Subscript[R, 6])=5;
(Subscript[U, 1])=130;
(Subscript[U, 2])=40;
(Subscript[U, 3])=100;

NSolve[{((Subscript[R, 1])+(Subscript[R, 4])+(Subscript[R, 6]))IA-(Subscript[R, 6])IB-(Subscript[R, 4])IC==(Subscript[U, 1]),-(Subscript[R, 6])IA+((Subscript[R, 2])+(Subscript[R, 5])+(Subscript[R, 6]))IB-(Subscript[R, 5])IC==-(Subscript[U, 2]),-(Subscript[R, 4])IA-(Subscript[R, 5])IB+((Subscript[R, 3])+(Subscript[R, 4])+(Subscript[R, 5]))IC==-(Subscript[U, 3]),I1==IA,I2==-IB,I3==-IC,I4==IA-IC,I5==IC-IB,I6==IA-IB},{IA,IB,IC,I1,I2,I3,I4,I5,I6}]

Řešením jsou smyčkové proudy (Subscript[I, A]), (Subscript[I, B]), (Subscript[I, C]) a proudy (Subscript[I, 1]), (Subscript[I, 2]), (Subscript[I, 3]), (Subscript[I, 4]), (Subscript[I, 5]), (Subscript[I, 6]).

Z daného příkladu je vidět, že s přibývajícím počtem smyček roste počet rovnic. 
Další rovnice jsou pro výpočet jednotlivých proudů v obvodu. 
Přehlednější je potom řešení obvodů pomocí matic. 
Přehlednost a úspora se projeví hlavně pro více smyček v obvodu. (pozn. viz další úlohy)

Sbírka úloh

Příklady na procvičení

1. Vypočtěte jednotlivé proudy v zadaném obvodu pro dané hodnoty: (Subscript[R, 1])=2Ω;(Subscript[R, 2])=6Ω;(Subscript[R, 3])=6Ω;(Subscript[R, 4])=12Ω;(Subscript[R, 5])=4Ω;(Subscript[R, 6])=10Ω;(Subscript[U, 1])=100V;(Subscript[U, 2])=50V;(Subscript[U, 3])=20V.

2.  Jak se změní jednotlivé proudy v zadaném obvodu pro dané hodnoty z příkladu 1, když vyřadíme 2. zdroj ((Subscript[U, 2])=0V)? 

3.  Jak se změní jednotlivé proudy v zadaném obvodu pro dané hodnoty z příkladu 1, když vyřadíme 3. zdroj ((Subscript[U, 3])=0V)? 

4.  Jak se změní jednotlivé proudy v zadaném obvodu pro dané hodnoty z příkladu 1, když vyřadíme 2. zdroj  a 3. zdroj ((Subscript[U, 2])=0V, (Subscript[U, 3])=0V )?

Zdroje:

A. Blahovec		Základy elektrotechniky v příkladech a úlohách