({{Číslo projektu, CZ.1.07/1.1.36/02.0066}, {Autor, Jaroslava Švecová}, {Předmět, Základy elektrotechniky}, {Téma, Řešení elektrického obvodu - uzlová napětí-matice}, {Metodický pokyn, výkladový text s ukázkami}})

Řešení obvodu metodou uzlových napětí pomocí matic

Obvod vyřešíme metodou uzlových napětí, která vychází z 1. KZ (tj. 1.Kirchhoffova zákona - o proudech v uzlu).

Je dáno schema obvodu, ve kterém označíme 3 uzly. Jeden uzel zvolíme jako vztažný.
Ve zbývajících (tj. dvou) uzlech označíme napětí vzhledem ke vztažnému uzlu (tzv. uzlová napětí). 
Pro každý uzel sestavíme rovnici podle 1. KZ o součtu proudů v uzlu. Proudy vyjádříme podle Ohmova zákona pomocí uzlových napětí.
	
	
Matematické řešení provedeme pomocí matic. 
Sestavíme matici vodivostí ((R^(-1))), jednotlivé odpory jsou zadány jako vstupní údaje. Tato matice je čtvercová a její řád je určen počtem vyznačených uzlových napětí. 
Dále definujeme matici proudů, která je sloupcová a určená z napětí zdrojů, která jsou též vstupní údaje. 
Matice napětí je rovněž sloupcová a předsavuje neznámá uzlová napětí, která jsou výstupem řešení.
	Pomocí uzlových napětí pak můžeme určit např. vyznačené proudy či napětí v jednotlivých větvích obvodu.

Schema zapojení obvodu

Pro zadaný obvod sestavíme matici vodivostí - mat(R^(-1)), matici proudů - matI a matici neznámých uzlových napětí -matU.

matG={{(1/(Subscript[R, 1]))+(1/(Subscript[R, 3]))+(1/(Subscript[R, 5])),-(1/(Subscript[R, 5]))},{-(1/(Subscript[R, 5])),(1/(Subscript[R, 2]))+(1/(Subscript[R, 4]))+(1/(Subscript[R, 5]))}};

matI={{((Subscript[U, 1])/(Subscript[R, 1]))},{((Subscript[U, 2])/(Subscript[R, 2]))}};

matU={{Ua},{Ub}};

Pomocí příkazu MatrixForm je matice upravena do správné formy.

MatrixForm[matU]

MatrixForm[matI]

MatrixForm[matG]

Podle Ohmova zákona (zapsáno pomocí matic) [R]*[I]=[U] zjistíme neznámé proudy ve smyčkách.


Vstupní údaje jsou jednotlivé odpory v Ω, napětí zdrojů ve V.

(Subscript[R, 1])=2;(Subscript[R, 2])=1;(Subscript[R, 3])=4;(Subscript[R, 4])=2;(Subscript[R, 5])=2;(Subscript[U, 1])=48;(Subscript[U, 2])=30;

Ohmův zákon pomocí matic je následně přepsán do soustavy rovnic:

matG.matU==matI

Příkazem Solve vyřešíme soustavu rovnic a vypočtená napětí pak využijeme pro další řešení.

reseni=NSolve[matG.matU==matI,{Ua,Ub}]

Pomocí uzlových napětí můžeme zjistit proudy v jednotlivých větvích obvodu. Proudy jsou v Ampérech.

Solve[{I1==(((Subscript[U, 1])-Ua)/(Subscript[R, 1])),I2==(((Subscript[U, 2])-Ub)/(Subscript[R, 2])),I3==(Ua/(Subscript[R, 3])),I4==(Ub/(Subscript[R, 4])),I5==((Ua-Ub)/(Subscript[R, 5]))},{I1,I2,I3,I4,I5}]/.reseni

Sbírka úloh

Příklady na procvičení

1.	V uvedeném příkladu zjistěte, jaká budou napětí na odporech (Subscript[R, 2  ]), (Subscript[R, 1  ]).

2.	Jak se změní uzlová napětí v př. 1, když zdroj (Subscript[U, 2]) zkratujeme ((Subscript[U, 2])=0)?

3.	Vypočtěte proudy (Subscript[I, 4]) a (Subscript[I, 5 ]) v zadaném obvodu, jestliže odpory (Subscript[R, 1]) a (Subscript[R, 3]) jsou stejné. Ostatní údaje jako v př. 1.

Zdroje :
 A. Blahovec		 Základy elektrotechniky v příkladech a úlohách